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Togetter - まとめ「条件付き確率の問題」 の話をやっと理解できた気がしたので書いておく。
数えあげ
条件「子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた」を満たす組み合わせを考える。子供がa、bの二人いたとして、条件を満たすものは……
aが男で火曜日に生まれた、bが男で月曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で水曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で木曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で金曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で土曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で日曜日に生まれた aが男で月曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた ← これは既出なので無視 aが男で水曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で木曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で金曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で土曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で日曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で月曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で火曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で水曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で木曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で金曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で土曜日に生まれた aが男で火曜日に生まれた、bが女で日曜日に生まれた aが女で月曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが女で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが女で水曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが女で木曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが女で金曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが女で土曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた aが女で日曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた
以上、27通りになる。「aが男で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた」を二回数えないように注意する。上記27通りのうち、「二人とも男」であるものは13通りある。よって、「子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれたとき、子供が二人とも男」である確率は 13/27 になる。
条件付き確率
「子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれたとき、子供が二人とも男」である確率、を条件付き確率で表わすと
P(子供が二人とも男 | 子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた)
になる。条件付き確率の公式から以下が成り立つ。
P(子供が二人とも男 | 子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた) = P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれたとき、子供が二人とも男) / P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた)
右辺の式の確率をそれぞれ考える。まず P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれたとき、子供が二人とも男) を考える。中身をわかりやすく書き直すと P(子供が二人とも男で、少なくとも一人は火曜日に生まれた) となる。この確率は以下のようになる。
P(子供が二人とも男で、少なくとも一人は火曜日に生まれた) = P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で月曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で水曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で木曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で金曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で土曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で日曜日に生まれた) + P(aが男で月曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で水曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で木曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で金曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で土曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で日曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) = 13 * 1/2 * 1/7 * 1/2 * 1/7 = 13/196
まとめると以下のように表わせる。
P(子供が二人とも男で、少なくとも一人は火曜日に生まれた) = P(子供が二人とも男) * (1 - P(二人とも火曜日に生まれていない) = 1/2 * 1/2 * (1 - 6/7 * 6/7) = 13/196
P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた) は以下のようになる。
P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた) = P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で月曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で水曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で木曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で金曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で土曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが男で日曜日に生まれた) + P(aが男で月曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で水曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で木曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で金曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で土曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で日曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で月曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で火曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で水曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で木曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で金曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で土曜日に生まれた) + P(aが男で火曜日に生まれた、bが女で日曜日に生まれた) + P(aが女で月曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが女で火曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが女で水曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが女で木曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが女で金曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが女で土曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) + P(aが女で日曜日に生まれた、bが男で火曜日に生まれた) = 27 * 1/2 * 1/7 * 1/2 * 1/7 = 27/196
まとめると以下のように表わせる。
P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた) = P(子供が二人いて、二人とも男、少なくとも一人は火曜日に生まれた) + P(子供が二人いて、一人は男で火曜日に生まれた、一人は女) = P(子供が二人いて、二人とも男) * (1 - P(二人とも火曜日に生まれていない)) + P(子供が二人いて、一人は男で火曜日に生まれた、一人は女) = 1/2 * 1/2 * (1 - 6/7 * 6/7) + 2 * 1/2 * 1/2 * 1/7 = 13/196 + 14/196 = 27/196
P(子供が二人いて、一人は男で火曜日に生まれた、一人は女) は「aが男で火曜日に生まれた、bが女」と「aが女、bが男で火曜日に生まれた」の二通りがあるので2をかけるのを忘れないようにする。
以上より、以下を得る。
P(子供が二人とも男 | 子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた) = P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれたとき、子供が二人とも男) / P(子供が二人いて、少なくとも一人は男で火曜日に生まれた) = 13/196 / 27/196 = 13/27
